Kök İki Sayısının İrrasyonelliği ve Diyofant Denklemleri

    Doğrusunu söylemek gerekirse, kök iki sayısının irrasyonel olduğunu ispat etmenin, aslında bir Diyofant Denklemi'nin çözümü olmadığını göstermek demek olduğunu daha önceden düşünmemiştim. Diyofant Denklemi'nin ne olduğunu bilmeyenler için kısaca tarif edeyim: Bazı denklemlerin çözümleri olabilir, ama tamsayı olmayabilir. Örneğin 3x + 6y = 7 denkleminin çözümü çoktur. (x = 1/3, y = 1 veya x = 2/5, y = 29/30 ve bunun gibi sonsuz çözüm - aslında denklemi 3x + 6y - 7 = 0 doğrusunun üzerindeki tüm noktalar -) Ama tam sayı çözümü olmayabilir. Yukarıdaki denklemin mesela, tam sayı çözümü olamaz. Neden? Çünkü x ve y tam sayı olsa, 3x + 6y de tam sayı olur, hem de 3(x + 2y) olarak yazılabildiği için, aynı zamanda 3'ün katı olan bir tam sayı... Ama 7'ye eşit? 7 sayısı 3'ün katı mı? Değil... Demek ki 3x + 6y = 7 denklemini sağlayan x ve y'nin her ikisi de tam sayı olamaz.

    Her neyse, işte Diyofant Denklemleri, tam sayı çözüm aranan denklemlere deniyor. Kök iki sayısının rasyonel olmadığı, yani a ve b gibi iki tamsayının bölümü şeklinde yazılamadığı ispatlanırken de ortaya bir Diyofant denklemi çıkıyor. Kök iki sayısı a/b’ye eşitlenip her iki tarafın karesi alınınca, gerekli düzenlemelerden sonra  x² – 2y² = 0 denklemine ulaşılıyor. Kök iki’nin böyle iki tam sayının bölümü olamayacağı ispatlanınca, aslında bu denklemin çözümünün olmadığı da ispatlanmış oluyor.